Bài 1: Chứng minh rằng nếu tổng của 3 số nguyên liên tiếp là số lẻ thì tích của chúng chia hết cho 24. Bài 2: Cho a, b, c, d thuộc Z; a khác (-c). Chứng minh rằng a.b c.d a.d b.c chia hết cho a...

2

LT

Le Thi Khanh Huyen

21 tháng 5 2015

Cậu search mạng chứ gì

Bài 1. Gọi 3 số nguyên liên tiếp là a-1; a; a+1 (a thuộc Z)
Theo bài ra: a - 1 + a + a + 1 là số lẻ hay 3a là số lẻ
=> a - 1 và a + 1 là số chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp, tồn tại một số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Do đó (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8.
Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn tồn tại một số chia hết cho 3. Vì vậy tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3.
Mà (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8 nên tích (a - 1)a(a + 1) chia hết cho 24.
Vậy đccm.

Bài 2. Ta có: ab + cd + ad + bc = (ab + ad) + (bc + cd) = a(b + d) + c(b + d) = (a + c)(b + d).
Do đó ab + cd + ad + bc chia hết cho a + c với a khác -c.

Bài 3.a) x có 100 số hạng, chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số, ta có:
x = (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4 - 3^5 + 3^6 - 3^7) + ... + (3^96 - 3^97 + 3^98 - 3^99)
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4)(1 - 3 + 3^2 - 3^3) + ... + 3^96(1 - 3 + 3^2 - 3^3)
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3)(1 + 3^4 + ... + 3^96)
= -20(1 + 3^4 + ... + 3^96) chia hết cho 20.
Vậy x chia hết cho 20 (đccm)
b, Ta có: x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99
=> 3x = 3 - 3^2 + 3^3 - 3^4 + ... + 3^99 - 3^100
=> 3x + x = 1 - 3^100
=> 4x = (1 - 3^100)
=> x = (1 - 3^100)/4
c, Vì x = (1 - 3^100)/4 mà x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99 là số nguyên
nên (1 - 3^100)/ 4 là số nguyên => 1 - 3^100 chia hết cho 4
=> 1 đồng dư với 3^100 theo môđun 4 hay 3^100 chia 4 dư 1(đccm)

Bài 4. Ta có: a^2 , b^2 và c^2 là các số chính phương nên a^2, b^2 và c^2 chia 3 dư 0 hoặc 1.
Nếu trong 3 số a^2, b^2 và c^2 không có số nào chia hết cho 3 thì mỗi số đó đều chia 3 dư 1.
Do đó tổng a^2 + b^2 + c^2 phải chia hết cho 3. Điều này trái với đầu bài vì a^2 + b^2 + c^2 = 2051, là số chia 3 dư 2.
Điều này có nghĩa: trong ba số a^2, b^2, c^2 có một số chia hết cho 3. Mà 3 là số nguyên tố nên trog ba số a, b, c có một số chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3

MT

Minh Triều

21 tháng 5 2015

Bài 1. Gọi 3 số nguyên liên tiếp là a-1; a; a+1 (a thuộc Z)
Theo bài ra: a - 1 + a + a + 1 là số lẻ hay 3a là số lẻ
=> a - 1 và a + 1 là số chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp, tồn tại một số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2. Do đó (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8.
Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn tồn tại một số chia hết cho 3. Vì vậy tích (a-1)a(a+1) chia hết cho 3.
Mà (a - 1)(a + 1) chia hết cho 8 nên tích (a - 1)a(a + 1) chia hết cho 24.
Vậy đccm.

Bài 2. Ta có: ab + cd + ad + bc = (ab + ad) + (bc + cd) = a(b + d) + c(b + d) = (a + c)(b + d).
Do đó ab + cd + ad + bc chia hết cho a + c với a khác -c.

Bài 3.a) x có 100 số hạng, chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số, ta có:
x = (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4 - 3^5 + 3^6 - 3^7) + ... + (3^96 - 3^97 + 3^98 - 3^99)
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3) + (3^4)(1 - 3 + 3^2 - 3^3) + ... + 3^96(1 - 3 + 3^2 - 3^3)
= (1 - 3 + 3^2 - 3^3)(1 + 3^4 + ... + 3^96)
= -20(1 + 3^4 + ... + 3^96) chia hết cho 20.
Vậy x chia hết cho 20 (đccm)
b, Ta có: x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99
=> 3x = 3 - 3^2 + 3^3 - 3^4 + ... + 3^99 - 3^100
=> 3x + x = 1 - 3^100
=> 4x = (1 - 3^100)
=> x = (1 - 3^100)/4
c, Vì x = (1 - 3^100)/4 mà x = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99 là số nguyên
nên (1 - 3^100)/ 4 là số nguyên => 1 - 3^100 chia hết cho 4
=> 1 đồng dư với 3^100 theo môđun 4 hay 3^100 chia 4 dư 1(đccm)

Bài 4. Ta có: a^2 , b^2 và c^2 là các số chính phương nên a^2, b^2 và c^2 chia 3 dư 0 hoặc 1.
Nếu trong 3 số a^2, b^2 và c^2 không có số nào chia hết cho 3 thì mỗi số đó đều chia 3 dư 1.
Do đó tổng a^2 + b^2 + c^2 phải chia hết cho 3. Điều này trái với đầu bài vì a^2 + b^2 + c^2 = 2051, là số chia 3 dư 2.
Điều này có nghĩa: trong ba số a^2, b^2, c^2 có một số chia hết cho 3. Mà 3 là số nguyên tố nên trog ba số a, b, c có một số chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3

Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tổng của 5 số tự nhiên không chia hết cho 5 Bài 2:Chứng minh rằng:a,Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6 b,Tổng ba số lẻ liện tiếp không chia hết cho 6c,nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c d, P=a+a^2+a^3+...+a^2n chia hết cho a+1;a,n thuộc N e, Nếu a và b chia cho 7 có cùng số dư thì hiệu a-b chia hết cho...

PT

Phạm Thanh Hà

2 tháng 10 2017

0

NG

Nguyễn Gia Như

29 tháng 8 2020

chứng minh rằng:

a) Tổng của ba số chắn liên tiếp thì chia hết cho 6

b) Tổng của ba số lẻ liên tiếp ko chia hết cho 6

c) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

d) P=a+a mũ 2+a mũ 3+...+a mũ 2n chia hết a+1;a,n thuộc N

1

TC

Trần Công Mạnh

29 tháng 8 2020

Bg

a) Gọi số chẵn nhỏ nhất trong ba số chẵn liên tiếp là 2x (x \(\inℤ\))

=> Tổng ba số chẵn liên tiếp = 2x + (2x + 2) + (2x + 4)

=> 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 2x + 2x + 2 + 2x + 4

=> 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = (2x + 2x + 2x) + (2 + 4)

=> 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 2.3x + 6

=> 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 6x + 6.1

=> 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 6.(x + 1) \(⋮\)6

=> Tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

=> ĐPCM

b) Bg

Tổng ba số lẻ liên tiếp luôn là một số lẻ

Mà 6 chẵn

=> Tổng của ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6

=> ĐPCM

c) Bg

Ta có: a \(⋮\)b và b \(⋮\)c (a, b, c \(\inℤ\))

Vì a \(⋮\)b

=> a = by (bởi y \(\inℤ\))

Mà b \(⋮\)c

=> by \(⋮\)c

=> a \(⋮\)c

=> ĐPCM

d) Bg

Ta có: P = a + a² + a³ +...+ a²ⁿ (a, n\(\inℕ\))

=> P = (a + a²) + (a³ + a⁴)...+ (a^{2n - 1} + a²ⁿ)

=> P = [a.(a + 1)] + [a³.(a + 1)] +...+ [a^{2n - 1}.(a + 1)]

=> P = (a + 1).(a + a³ + a^{2n - 1}) \(⋮\)a + 1

=> P = a + a² + a³ +...+ a²ⁿ \(⋮\)a + 1

=> ĐPCM (Điều phải chứng mình)

CB

cô bé thì sao nào 992003

22 tháng 6 2016

1. Chứng minh rằng nếu tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là số lẻ thì tích của chúng chia hết cho 24

#Toán lớp 8

1

TT

Thám Tử THCS Nguyễn Hiếu

23 tháng 6 2016

gọi số ở giữa là n thì ta có (n-1)+n+(n+1)=3n là số lẻ do đó n cũng là một số lẻ vậy:

(n-1) và (n+1) là 2 số chẵn liên tiếp(đã chia hết cho 2) thì trong chúng có 1 chữ số chia hết cho 4;
:
trong ba chữ số tự nhiên liên tiếp ta lai luôn có 1 chữ số chia hết cho 3
vậy tích của ba sooschia hết cho 2x4x3=24 cm xong

? Bài 5: Chứng minh rằng: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9. (a^3 đọc là a lập phương) Bài 6: Chứng minh rằng: a) n(n + 1) (2n + 1) chia hết cho 6 b) n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120 Với mọi số n thuộc N Bài 7: Chứng minh rằng: n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 Với mọi số n Z Bài 8: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lẻ thì : a) n^2 + 4n + 3 chia hết cho 8 b) n^3 + 3n^2 - n - 3 chia...

QN

Quang Nhật

22 tháng 7 2023

2

TD

Trần Đình Thiên

22 tháng 7 2023

bài 5:Gọi a là số nguyên đầu tiên trong dãy 3 số nguyên liên tiếp. Ta có dãy số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2. Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là: a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3) = 3(a(a^2 + 3a + 3) + 3(a + 1)) Ta thấy a(a^2 + 3a + 3) là một số nguyên, và 3(a + 1) cũng là một số nguyên. Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.

bài 6:a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.

bài 7:Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

bài 8:a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).

bài 9:a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.

bài 10:Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.

Đúng(1)

TD

Trần Đình Thiên

22 tháng 7 2023

Gọi a là số nguyên đầu tiên trong dãy 3 số nguyên liên tiếp. Ta có dãy số nguyên liên tiếp là a, a+1, a+2. Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp là: a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 = a^3 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) = 3a^3 + 9a^2 + 15a + 9 = 3(a^3 + 3a^2 + 5a + 3) = 3(a(a^2 + 3a + 3) + 3(a + 1)) Ta thấy a(a^2 + 3a + 3) là một số nguyên, và 3(a + 1) cũng là một số nguyên. Vậy tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9. ChatGPT chưa có được câu trả lời, vui lòng quay lại sau

a) Để chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n(n + 1) chia hết cho 2. Ta biết rằng một trong hai số liên tiếp n và n + 1 phải là số chẵn. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3. Ta biết rằng một trong ba số liên tiếp n, n + 1 và 2n + 1 phải chia hết cho 3. Vì vậy, tích của chúng chia hết cho 3. Vậy, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6. b) Để chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 120, ta cần chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8. - Đầu tiên, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 2 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 2. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 2 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 2. Và n cũng chia hết cho 2. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 2. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 3 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 3. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 3 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 3. Và n cũng chia hết cho 3. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 3. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 4 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 4. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 4 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 4. Và n cũng chia hết cho 4. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 4. - Tiếp theo, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 5 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 5. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 5 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 5. Và n cũng chia hết cho 5. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 5. - Cuối cùng, ta chứng minh rằng n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Ta biết rằng n^5 chia hết cho 8 vì n^5 = n^4 * n chia hết cho 8. Tương tự, n^3 cũng chia hết cho 8 vì n^3 = n^2 * n chia hết cho 8. Và n cũng chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho 8. Vậy, n^5 - 5n^3 + 4n chia hết cho cả 2, 3, 4, 5 và 8, nên nó chia hết cho 120.

Để chứng minh rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1: 1^4 + 6(1)^3 + 11(1)^2 + 6(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24, là số chia hết cho 24. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24. Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) chia hết cho 24. Ta có: (k + 1)^4 + 6(k + 1)^3 + 11(k + 1)^2 + 6(k + 1) = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 11(k^2 + 2k + 1) + 6(k + 1) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 + 6k^3 + 18k^2 + 18k + 6 + 11k^2 + 22k + 11 + 6k + 6) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + (10k^3 + 35k^2 + 32k + 18) = (k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k) + 2(5k^3 + 17k^2 + 16k + 9) Vì k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k chia hết cho 24 theo giả thiết quy nạp, và 5k^3 + 17k^2 + 16k + 9 cũng chia hết cho 24 (có thể chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp tương tự), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 24. Vậy, theo nguyên lý quy nạp, ta có thể kết luận rằng n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

a) Ta có: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n + 3 đều là số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n + 1 và n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n + 1)(n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n + 1)(n + 3) chia hết cho 8. b) Ta có: n^3 + 3n^2 - n - 3 = (n - 1)(n^2 + 4n + 3) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n - 1 là số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng n - 1 và n^2 + 4n + 3 có tích là một số chẵn. Vậy (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 4. Do đó, (n - 1)(n^2 + 4n + 3) chia hết cho 8. c) Ta có: n^12 - n^8 - n^4 + 1 = (n^12 - n^8) - (n^4 - 1) = n^8(n^4 - 1) - (n^4 - 1) = (n^8 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)^2 = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n + 1 và n - 1 đều là số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2. Ta cũng thấy rằng (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) có tích là một số chẵn. Vậy (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 4. Do đó, (n^4 + 1)(n^4 - 1)(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) chia hết cho 8. Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c).

a) Ta có p > 3 là số nguyên tố, suy ra p là số lẻ. Vì vậy, p^2 là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - 1 dưới dạng (p - 1)(p + 1). Vì p là số lẻ, nên p - 1 và p + 1 đều là số chẵn. Do đó, (p - 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3. Do đó, p - 1 và p + 1 đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - 1)(p + 1) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - 1 chia hết cho 6, nên p^2 - 1 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24. b) Ta có p > 3 và q > 3 là hai số nguyên tố, suy ra p và q đều là số lẻ. Ta có thể biểu diễn p^2 - q^2 dưới dạng (p - q)(p + q). Vì p và q là số lẻ, nên p - q và p + q đều là số chẵn. Do đó, (p - q)(p + q) là tích của hai số chẵn liên tiếp, nên chia hết cho 2. Ngoài ra, vì p và q là số nguyên tố, nên p không chia hết cho 3 và q không chia hết cho 3. Do đó, p - q và p + q đều không chia hết cho 3. Vậy, (p - q)(p + q) chia hết cho 2 và không chia hết cho 3. Từ đó, suy ra p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 = 6. Vì p^2 - q^2 chia hết cho 6, nên p^2 - q^2 chia hết cho 2 x 3 x 4 = 24.

Ta có: 11n = 12n - n Vậy ta cần chứng minh rằng n^3 + 12n - n chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z. Ta thấy n^3 + 12n - n = n(n^2 + 12 - 1) = n(n^2 + 11) Để chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 2: Nếu n chẵn, thì n chia hết cho 2, n^2 cũng chia hết cho 2, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. Nếu n lẻ, thì n chia hết cho 2, n^2 chia hết cho 4, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 2. - Chứng minh n(n^2 + 11) chia hết cho 3: Nếu n chia hết cho 3, thì n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Nếu n không chia hết cho 3, ta có 3 trường hợp: + n = 3k + 1, thì n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 2k + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k + 2, thì n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, nên n^2 + 11 = 3(3k^2 + 4k + 4) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. + n = 3k, thì n^2 = 9k^2, nên n^2 + 11 = 9k^2 + 11 = 3(3k^2 + 3) + 2, n(n^2 + 11) chia hết cho 3. Vậy ta đã chứng minh được rằng n(n^2 + 11) chia hết cho cả 2 và 3, nên n(n^2 + 11) chia hết cho 6 với mọi số n thuộc Z.

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho:a) 2n + 8 chia hết cho n + 1b) 8n + 7 chia hết cho 4n + 1c) 3n + 9 chia hết n + 5d) n + 14 chia hết cho 2n + 3Bài 2: Chứng minh rằng: Tích của hai số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2Bài 3: Cho 2 số tự nhiên không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5.Bài 4: Cho 4 số tự nhiên không chia hết cho 5, khi chia cho 5...

LN

Linh Ngô

28 tháng 9 2017

0

H

Huyền

17 tháng 2 2015

a)cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a^2 + b^2 chia hết cho 13

b) Cho a,b là các số nguyên . Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 dư 3 , b chia cho 19 dư 2 thì a^2 + b^2 + ab chia hết cho 19

c) chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3

3

VK

vu khanh ly

17 tháng 2 2015

huk mìk như pn thuj có 6 đề hsg đây nè

H

Huyền

18 tháng 2 2015

Mình giải đc r ^^

Giúp mị vs, cần rất gấpCho A = 2.4.6.8.10.12 - 40. Hỏi A có chia hết cho 6, 8, 20 không, vì sao?Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư là 12. Hỏi a có chia hết cho 4, 9, không, vì sao?Cho a chia hết cho c và b chia hết cho c. Chứng minh rằng : ma+nb chia hết cho c ' ma - nb chia hết cho c với m,n thuộc NChứng mình rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không...

CG

Cold girl love Bangtan Sonyeondan

9 tháng 10 2019

2

BU

Bé Út nhà Bangtan

9 tháng 10 2019

ê bạn là antifan hay ARMY thế hở, mà nếu là ARMY thì sao lại để logo thế kia, còn nếu là anti í thì sao lại có chữ ARMY dưới phần logo và nickname hở, m là gì để tao còn biết.

HT

Hoàng Thanh Tùng

29 tháng 9 2021

A chia hết cho 8 và 20, nhưng ko chia hết cho 6

a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có chia hết cho 2 không.b) Chứng tỏ rằng với hai số tự nhiên bất kỳ khi chia cho m có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho m và ngược lại.c) Chứng tỏ rằng với 6 số tự nhiên bất kỳ luôn có ít nhất hai số tự nhiên mà hiệu của chúng chia hết cho 5.d) Chứng tỏ rằng tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết...

DT

Đẹp Trai Nhất Việt Nam

4 tháng 10 2016